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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 {Tb?l>w  
n{IaUS~  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 3UQ)"6f6=  
&M]Zo  
　　1、三角函数本质： oD(e|qM]e  
h(6q;'bsgk  
　　三角函数的本质来源于定义 "o+ p  
9 e^T}~_c  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 &vj- N  
JA1'+aS_Q  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 b5;iew{#5  
 se.@  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： F_Up[|#  
'W{`Nd*C  
　　推导： /h9!C;2{  
_F$e^(z<y  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 Cns="'K  
9QCQXE  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) I, t5~.QGi  
p*N$xOGf  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) $; So1aR  
=c>D9 >  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 kn@aZ~*  
x\t=)G1NN  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 3R[gqB  
ugRzsR*AD  
　　[1] Y.Nv;^n  
{V#n3 clP  
　　两角和公式 cUo#W}-  
E.N:  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB \T(Uy;#^  
b09z!J 4"(  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  4I3 oO  
^_L{ &1; O  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB g}"_Il|M*D  
guL(~e  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB >|F{|dw  
W]W86  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) $9p.YS  
N2e%:Tj{L  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 6WR$Qa  
x!vw`_7  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  +OFF,1lm  
tvnw9rX  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ;t$\]c`  
Vxmm%x s3  
倍角公式 *gN!O0  
baix8<  
　　Sin2A=2SinA•CosA J0#.<:3C  
/kvk6+K!i{  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 .7znb#U*  
X(E+QcF  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 9r 22S\6x  
f2c_a_-<|  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） GsSn }^SY  
>L=dNYD;q  
三倍角公式 hk!%Ik4=  
wer*Pc7yo  
　　 tc,4Qb9.u#  
H+"XhuP5  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) _Sdgmq/#  
d,v7:uLD  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) MWn~Si|  
E%qh l*~  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) \Wu\^=6!Uu  
'Uw]4|$*  
三倍角公式推导 {3UjVbBj  
9"!W 4?;  
　　sin3a W=;kia)  
6/w 5Bc  
　　=sin(2a+a) -ao89s%#O  
nh=B2N^w]  
　　=sin2acosa+cos2asina 2:q!jIG{~  
nOJvN11!I  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina u3V;  
W%rl^zDC  
　　=3sina-4sin³a ~2W%n)0  
ySG'e6oy  
　　cos3a RS{6lEx  
bTtHP   
　　=cos(2a+a) i[R.]~}1  
j+up||68  
　　=cos2acosa-sin2asina Kj^ Q- ,  
&Q+4(u  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa HleuZ%=,  
G'OlvpfA.U  
　　=4cos³a-3cosa ~y\A%BQvc9  
8Zv_ sl}  
　　sin3a=3sina-4sin³a "<t#<%fL  
FT{}f\M_  
　　=4sina(3/4-sin²a) &,X6-O  
pKSAnSt5  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] VV01x)a*  
`GU%bm)  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) YL",F,KGu`  
uB *" `  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Q8cIA=u`R  
k}2Elb4  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 5u)Q7y  
BXfqg"8  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) \Of\;Nia  
nk&~/F/  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 7qLZncVU  
.P(o:RY7  
　　=4cosa(cos²a-3/4) BuM_lgA?3  
Ydk%p q  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] hhO|]o}vT  
Ip%#,U#PX  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) _t_DZhK=  
LL}Tzy<  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ^wc&O}4  
[XEQY9e4S  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ;g+m7 :  
V:}7gGdF=  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ArN+,V]}  
8*EcMd=1  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ~#W(T>Dj  
zb0 NAT*  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ncWaMMlZ;  
zcA.v>F{=  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) CVLP#@'k  
d::#9;  
　　上述两式相比可得 PnP>,"'@H  
v :A=6EP[  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) %UV <"Q]a&  
vg-h#(/  
半角公式 qwB,mt73  
:W@<PuG7  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ,8 qBrYrm  
nNVQ0GU(DQ  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. e0%+St  
; b^ i8c"]  
和差化积 cSu^S(KvBz  
e9Us|  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] U^X/0J'{<  
L-wAlu  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] #i{L['<  
bHd [.bpV~  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ``/l<;bL/  
v~j-w)a'  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] K2AT:R  
VIJvgBT  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) R^P .C  
Jfn.f.IW)  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) iquX;03,  
f^'Q%hnH$  
积化和差 3$>Df  
**n5f  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] HDQ*Fb+r.  
Wo B* 9  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] <"~r3%`,  
-%\7e_2H  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] =iM^sr  
L+WHT30  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] PO2htW  
z%jaN=]  
诱导公式 { ,s1{|   
!x kN#+  
　　sin(-α) = -sinα Ty_*D O5  
&[.fxJSxj  
　　cos(-α) = cosα mNE)0Z  
6 V z=%  
　　sin(π/2-α) = cosα &2B"h3!'  
7$-`TS89  
　　cos(π/2-α) = sinα "34PmLj  
Pm [skk  
　　sin(π/2+α) = cosα 5Q(lXJnf  
zj[] wm  
　　cos(π/2+α) = -sinα 5j5Y5Kyl  
t}|k%]!xn  
　　sin(π-α) = sinα `!3VY",r  
8/0G~X^  
　　cos(π-α) = -cosα an 2yVUsf  
eDo..*#a  
　　sin(π+α) = -sinα 4BXGJ]  
-Gc+=6{).  
　　cos(π+α) = -cosα * ` gR0w  
. @%<  
　　tanA= sinA/cosA /7889J, ,\  
PFhG`F;  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα U 5n*QK=Y  
A`v,; Sg)y  
　　tan（π/2－α）＝cotα u( r.WM  
2j/`+ ~  
　　tan（π－α）＝－tanα  1R&qU_  
W"OB?12_  
　　tan（π＋α）＝tanα 1y?v*fZjb  
:yP{4BnT  
万能公式 }#gs8]OJ  
j7Pkx}  
　　 J\5Z  
dGg-B O  
其它公式 WkH@^2.   
O)[^#5G  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 l7+PPb  
PY{JQ 4,[  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 j2h6XUp*9  
h 9Fs+i,<  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 lcD~YmGJ&  
9v:xN[BG/  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 @vs`<;6Z  
b0YwC+\b;d  
　　对于任意非直角三角形,总有 T:A1Xy lF  
] <!UAm  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ,w aB)Rz  
P< ayB]  
　　证: kgG0$?1  
x}miL8;)  
　　A+B=π-C >G$$S(" L  
>c|i41~Qi  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ^ ^>Yb  
6+-LzN.'  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ':?" N&p  
oe12f8/#b=  
　　整理可得 81De A`2L  
J8.)Yyi  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC jW<3W<7F'  
._ mc5.fl  
　　得证 `CV,&(wc  
v5F j~x!  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 mo)EI}d=  
'wUzo4[`2  
其他非重点三角函数 FkU29;c=  
"%,"L~#,  
　　csc(a) = 1/sin(a) L66lr>-jQ  
69#_Vf3=  
　　sec(a) = 1/cos(a) ; qN\K*eP  
4oRC!!0>  
　　 Ma :d; Be  
vJ)!%Dtl  
双曲函数 iKbN5Z!b  
oTq/K*  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 #|' #}b/  
PzH*p&F-  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Sz &-2P  
_}=ASah  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) |sq)M,IC."  
7W2[XL  
　　公式一： tCb-biG  
`JZ+@Q(  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： n1{2'11 E  
9qglf6L/  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 4Kl2`5 <!  
ZB2"{~I*l  
　　cos（2kπ＋α）= cosα yqgrlH-sR  
2" ?GWXks  
　　tan（kπ＋α）= tanα i).dffopo  
^Xypp=ye  
　　cot（kπ＋α）= cotα ~$!F[2*c2  
> L;RmQF  
　　公式二： fa$N"\Q  
*(L,Yb$7  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： |iD $A  
^ ~I oG  
　　sin（π＋α）= -sinα ` DZ'_N  
@- I1K  
　　cos（π＋α）= -cosα J\Pv\IiI"  
Dg~KQcJ  
　　tan（π＋α）= tanα XM.}3.7  
f'#CxgL  
　　cot（π＋α）= cotα UToZ*uU{;  
s\ TT-,OH  
　　公式三： GiGu uPT  
MC@Q%! #  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： B58 iE  
Srj!r4  
　　sin（-α）= -sinα agawVd  
`k^#6=\3N  
　　cos（-α）= cosα uB;c"WY|  
mky>% /  
　　tan（-α）= -tanα {3\-F"8.  
v9:%G/  
　　cot（-α）= -cotα %MU1l\RO  
&+xeJu  
　　公式四： _a/&;:'YU  
'DGpJT4/m  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ,G6{!  
H@s71^  
　　sin（π-α）= sinα eJIwU+  
CpeIhTJVT  
　　cos（π-α）= -cosα On G0  
>Hi.0;g]  
　　tan（π-α）= -tanα \[w[TvO"N  
kwz LWWxp  
　　cot（π-α）= -cotα FK5#rJ.  
^b]Rpl9`Gh  
　　公式五： #5bb ,)  
7;U.   
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： gl`]*N  
u<Q[vx  
　　sin（2π-α）= -sinα 8dX&+?F  
6?;``!MM  
　　cos（2π-α）= cosα J<ln db\  
V-.v -'-  
　　tan（2π-α）= -tanα hT4/A*T}  
(D9dkam  
　　cot（2π-α）= -cotα WRoac{Avo  
i^Xe1k.T  
　　公式六： Dzs|wQ(H  
Oew <pA}Y  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： n+|dwiq  
?s >{U<  
　　sin（π/2+α）= cosα ]Zhi5<+r  
.i< 7i$o  
　　cos（π/2+α）= -sinα ahAJldu$W  
p5n= 1l  
　　tan（π/2+α）= -cotα M kssy_Ss.  
zeUC`^:M  
　　cot（π/2+α）= -tanα Lev?\V*  
Q^9_kls .-  
　　sin（π/2-α）= cosα F&z s:0  
jn,~d~AY2  
　　cos（π/2-α）= sinα ohO o#>  
]7";y\'  
　　tan（π/2-α）= cotα O(-i?5D-  
|9Dt/;=C  
　　cot（π/2-α）= tanα l@}u;IMe  
ps@;t4Kgp  
　　sin（3π/2+α）= -cosα a=:NTg  
9+l Nvrv  
　　cos（3π/2+α）= sinα At`{xLqs  
wuIiCi+j  
　　tan（3π/2+α）= -cotα f9!E)VhQq  
!qXla[>  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ~"b%(v^C-  
eF+0b-cJ  
　　sin（3π/2-α）= -cosα |AX!={e  
p &,5M#s  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ; %&HXXB  
GB2n&#B~}  
　　tan（3π/2-α）= cotα +b-=hS8  
0B1eGB ^  
　　cot（3π/2-α）= tanα N QZwO 4  
CDjyCgb  
　　(以上k∈Z) f*71$YMR[  
J |bu  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 IA VFPN  
W,B#J0*`  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = IUU !d/4FH  
0=x2$C9  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 1}>NriYu  
}EtgrWPd  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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