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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 k{PI4'Cr  
uw1QehM L  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 4WX-O&f!  
L+(/47FZn  
　　1、三角函数本质： "AW >w  
4jbij_%x  
　　三角函数的本质来源于定义 k~|-] do  
}a1ViaL4o  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 y_Es'N,5  
qcZj%z9Tc]  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 >X1c uYK  
{ZV}bX&~?3  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ]dwa PK<  
N}>.C.K?  
　　推导： J^6a:`:  
B|9'g$  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 m,&3 Bv@O  
~ %iM>S  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 5Pof3]8DV  
\V{;Dv}  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) e]ETrU0   
n&cI dK"  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 1X]1n+,  
M~U&Iw.  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） z" \$#h  
G3Bx>C["  
　　[1] E Lu] <ee  
5 *JYc0P  
　　两角和公式 D#jbR5ZAs  
Z3? _b}h  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB (P e9-#  
I_]E=OF  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  y3/sRO  
0k)")v  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB fs=5{}3  
 Gevrf  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 84&="8QD  
t[s}5l  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Fg~Xu*|E  
+#D-?Tc~  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) b`3)Ig-  
)L1nCO  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  5iH6JK  
m]_J-|E  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) \4N7 Z{e  
hX!8gV=%%  
倍角公式 {l(xTA `t  
% lajc58  
　　Sin2A=2SinA•CosA m ZTN*  
7_cUp7.  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 |l2@[Vn]P.  
r Lut=  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） &b>zTY$  
"Yetvq  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） @gkmS4"  
o|>SZ(  
三倍角公式 fd5GG~0fF  
 stUftFM  
　　 H0#bBO{  
jJG*IA8Q,)  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) F~V vj=]v  
6LQ2LCiQ  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) VZ- O)gS<  
; WF)%l-{  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) |D}7XBclT  
Fwx* ?  
三倍角公式推导 <P2:eS  
:5/R03n  
　　sin3a [36`S0r=  
)m1dHq,Pp  
　　=sin(2a+a) N;ewv'  
cR( l- *  
　　=sin2acosa+cos2asina DqNg"(o92  
j}mvQc  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina BjTrN P!  
5)gow;o  
　　=3sina-4sin³a 55s 5?9  
0gr^t\?  
　　cos3a H-hS[tjq^  
^3VbeA5*  
　　=cos(2a+a) }Rw5t7Py@L  
wTX&h"1W  
　　=cos2acosa-sin2asina {$u{BZ0T  
!'bMcv  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa YrC%W@(  
`yb1(%@})  
　　=4cos³a-3cosa 6Cnv5(NI  
T;M8 7@l,s  
　　sin3a=3sina-4sin³a 7ll *".+#O  
W33 42N  
　　=4sina(3/4-sin²a) u%l-/]~\  
Mv/ t{JW  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] k*>3 <>2  
G[`Vis#X0  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) $UBm*k>  
ewUBQ x=?  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) pqkp?Zj  
h!8j)^"  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] {>p>C}O\  
=.OQ]CkG  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) }MxHwoc1  
o;?bTW  
　　cos3a=4cos³a-3cosa eo"mOn  
cJjv (z;  
　　=4cosa(cos²a-3/4) )Z.9Qxd  
$ 1BRj\E  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ;<le|)Tk  
@wW8^6=<  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 9eA2r1(  
|TgmSlz  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) p %J/q(  
M=1#vxv  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} re#u"m@  
h|1B=`3  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) PjQhl!H  
$Z h  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] kF,cdD  
r@t\!YtS  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] C&Y*@jlx>  
'X.)d5AI  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) xc3rh_VC$  
s~!Ghrw  
　　上述两式相比可得 ^+'g7i"-%b  
~ ^oYz@_  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Y l} vxs=  
=XKWCU5  
半角公式 ;g{zmZjm  
>9JuB<oM  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 4RK{>cRO  
iI4b}@uZ73  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. w7/04L-B  
1Jh{aWQb  
和差化积 GwVQX 2  
jd[Th~,  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] &J>@:@M  
xc qrf  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] zM\o5pD  
]OYv6`PvH  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] `W3Xy`qeP  
JPo&vaD  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] o}E=$]  
Ss` vb%k  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Y*#ds&  
zZuvfo W;  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) [V;J>vD>o@  
@t9)'-O9-  
积化和差 ` XDD*pw  
2? kP`  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] b|#/8i/5<@  
nP6:HC"f'e  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ]$P"r,nZx~  
s'V,1eO\j  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] *Gr#2%F  
{j`F=~[  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]  4iE5  
lqr. :T;  
诱导公式 OF;?Y b4A  
?gnX%3lN$  
　　sin(-α) = -sinα [2%8TL!o  
AKH>ZC.7  
　　cos(-α) = cosα :"5ndDSv  
4ndVG  
　　sin(π/2-α) = cosα y\hV5P  
9j E-J  
　　cos(π/2-α) = sinα 39Y%ARme  
+_~oeO*0  
　　sin(π/2+α) = cosα |sY I? c  
Ia>y&8?K'=  
　　cos(π/2+α) = -sinα ]mfGpm4%  
N6W@\Ev;V  
　　sin(π-α) = sinα 't|-]0q)  
k nHq[z{z  
　　cos(π-α) = -cosα .}M?2B,"-  
S.;%p%6]  
　　sin(π+α) = -sinα ^FQmCz4o  
q/vG8M`czY  
　　cos(π+α) = -cosα \nze3eK{T  
\V9>z!`  
　　tanA= sinA/cosA BR=O* v3  
ED9Q;8  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Fva0; {  
^Gy>EzK  
　　tan（π/2－α）＝cotα 65a{$L#'  
x ; )u-f%%  
　　tan（π－α）＝－tanα zup%\B>RM  
>0ZD_~vc0  
　　tan（π＋α）＝tanα gfO:TD6  
]STO$3u.  
万能公式 #cl ktc  
B psXZ$  
　　 \(r}W[A8  
Nqt*+&Ax  
其它公式 i^s+P  
%N7i8B6  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 <G7v6$3+Y  
t|yX/tu  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 [8tiOZ  
4| j9j |D  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 FZ#[U;0"  
|Ap$#  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 274j~q'>  
L+}W KO  
　　对于任意非直角三角形,总有 p!G <fN  
RN Y;{  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC b )?^qrAH  
Uia @ -Xe  
　　证: $gVn1P_  
l1;@ m]b  
　　A+B=π-C @fGIf_  
>.l)f;x WB  
　　tan(A+B)=tan(π-C) fz;~:B~!7  
cm2XRU1  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) b|DV^=  
ZJ}w0Qa  
　　整理可得 M"g47=  
jk@R5  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC qo1(GN  
n@SJp?  
　　得证 <<Z DG|q]  
.->iS94>  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 1*s(I)  
h'wa 038f  
其他非重点三角函数 Z;6DU7h7  
n}63(<t  
　　csc(a) = 1/sin(a) Be"*z 3  
B<@nX>&&  
　　sec(a) = 1/cos(a) V\:&H!u  
/"xBC  
　　 VU f+XelH  
MRF }D Zc  
双曲函数 NbNH:,2  
/1Y y=_Dz  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 \&9(/1K  
KScu$mj  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 1Kv/EI  
!go5>(G6  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a)  2i^;o  
8[Znhfyz  
　　公式一： WmN9 +[  
9'**,{WLG  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： K .r| I  
 #o([/\  
　　sin（2kπ＋α）= sinα $L-9v *  
NP ) &`  
　　cos（2kπ＋α）= cosα j@/qT9M5)  
:Wg&dcZOF  
　　tan（kπ＋α）= tanα ( L&s"RR  
eU=Q7O^)  
　　cot（kπ＋α）= cotα T|8tVJ:o  
P[p#T_f3  
　　公式二： j9=$dCJ  
/l`e{~%3 2  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 9mYd`g   
uz w_86_5  
　　sin（π＋α）= -sinα LQ^SEL  
Y$E ;' <<  
　　cos（π＋α）= -cosα Q[i-j84z  
}d7 UJ Vmd  
　　tan（π＋α）= tanα 4E|>G(`4  
I"xvGs3p  
　　cot（π＋α）= cotα vkRS ?1  
LK(S`OQ  
　　公式三： dP[)7({8[  
8y=|z  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Tm_Uo+  
|th.)Xkzz  
　　sin（-α）= -sinα dc' c {[  
/r5 >*fV  
　　cos（-α）= cosα |eX5Et  
 ax">l_  
　　tan（-α）= -tanα o#ET LBT  
&kNd[sFI  
　　cot（-α）= -cotα :NXA ,PPM  
QTrFO; 9[  
　　公式四： [zNJx- 7  
] s#8A_IG@  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： [^+f@jBk  
;MKcld"  
　　sin（π-α）= sinα PxZ /^%"P  
72'i (f\'+  
　　cos（π-α）= -cosα sF/JCEJ+{  
jeUc>u}[  
　　tan（π-α）= -tanα AJzF'(|X  
&WRFO!n  
　　cot（π-α）= -cotα bF7}\?_  
t{kkFp^;  
　　公式五： ]DLkQU   
F 3hg 3  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： . |-!1jY  
D0El`/)9  
　　sin（2π-α）= -sinα Ks<Mb*:4y  
D6#<m2%;  
　　cos（2π-α）= cosα KIjvYzWW  
V+ <Cs1M  
　　tan（2π-α）= -tanα -Iht3d  
&$B~ J_  
　　cot（2π-α）= -cotα <^(;S? K  
un3aH64  
　　公式六： \ p*+\2q  
Va_deZ~B   
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： X#@c#@=  
%+q A I  
　　sin（π/2+α）= cosα b+a/! vJ  
`r|%vl\5O  
　　cos（π/2+α）= -sinα %[cb~ UH  
\#bd~gTd  
　　tan（π/2+α）= -cotα !P/2EWx0  
c2_/.;^%+  
　　cot（π/2+α）= -tanα MNC2[$9cV  
y/,to,  
　　sin（π/2-α）= cosα \d{VI-|  
^W(q d!@5  
　　cos（π/2-α）= sinα fKG+6FkO|  
][%#4`  
　　tan（π/2-α）= cotα ">< 3  
@G:hvssA  
　　cot（π/2-α）= tanα S %n+34/_$  
xnl#e7)kx  
　　sin（3π/2+α）= -cosα  Jm;2u)  
Fcmf1K0  
　　cos（3π/2+α）= sinα Aa5y(T^  
c, q/@0Cg  
　　tan（3π/2+α）= -cotα `b6~Ha'w  
p(l7 a  
　　cot（3π/2+α）= -tanα &VEr%(;k  
{+{ycm@%J  
　　sin（3π/2-α）= -cosα Y %Q&|p  
'N~hV*>7'  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 37I +gWw%V  
*MVJeJu  
　　tan（3π/2-α）= cotα mC]]z1EK,  
6 3p$$x<jc  
　　cot（3π/2-α）= tanα ^wG^l i>O[  
:ID}ur&Q@  
　　(以上k∈Z) _\ @jhF-  
%W"&%/oB  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 9O0k,#\)  
Kp)!hsxD  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = v1P!gL  
O)7 83 @w  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Z;4#7b,z  
V&V0S NH]J  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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