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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 <hJ?VFt{(  
NdT=d!  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. k~6$;[9C  
zks4uB  
　　1、三角函数本质：  e-l D  
Ie7+P  
　　三角函数的本质来源于定义 %'4~X  
*oU6}SAZ  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 mLgSs  
B1" zI8  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ?y@589 B[  
/U`=`T  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： $LVXCNTzF-  
k}$tb*  
　　推导： ^9b9#\  
NFo[F<0w  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 d|>y>h4  
 s v=Ovv  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ]J&W[lD  
hzq ]GF7  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) S6}KLc M  
u"D`meA2  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Y1<2H@  
\;jk`Z@F ,  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） /*L/K+\E  
P(\<p`  
　　[1] ;W9r)Y*wg  
0 iXoA.-  
　　两角和公式 WQLB];}{  
\#=p|  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ]r5)G=)1  
x>p#($lX2  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB   HxU-!J  
dIu?["S  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB /3s4"O   
5|8g~6RL  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB a4+Q{1:  
1TXRA"f a  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) #Lj\vAJ2n  
K.6A*F<  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) a#yno  
7ACNM   
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  M.ts9{  
8) o8=>  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) s4`FHL  
Xv<0/#jYE  
倍角公式 `V2?T%w  
GgfeGvaq  
　　Sin2A=2SinA•CosA u8H`n^^;]  
&15(H#v]u  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Ik& f q  
yL@hx7$S  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） eGp}|MsO  
And~+ZP(  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） [dUL 9^%  
+\O% %B   
三倍角公式 N 6&2 ,zt  
xWV KDo  
　　 ud*oA}Ol"A  
0X[O[bRc1  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Xv%\_\F  
0&)Lzz!  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) {u|`\s}1  
Du&BF,)  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) `( 0z@;+M1  
d X!. #!  
三倍角公式推导 a ^AiCm F  
=2l--x$/4O  
　　sin3a 8kR:! +2  
>6*Xm8  
　　=sin(2a+a) AMl,V<@8N  
{9`CY9[,  
　　=sin2acosa+cos2asina uOOL$?k  
!gF()+$T#  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina !749Z|  
Cr?>AV M&K  
　　=3sina-4sin³a 6iP*%}L  
Q !esV  
　　cos3a T`.@>6R  
B{_]g-V"  
　　=cos(2a+a) 4d"0E k/VE  
pv^z{J-^  
　　=cos2acosa-sin2asina yW2v+F5Z  
QF+ES 82  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa \ ~tQG  
X~s*J`  
　　=4cos³a-3cosa <}rh2^g\Z7  
Pc'8M |#^\  
　　sin3a=3sina-4sin³a BS>m,6  
^ukq[k3  
　　=4sina(3/4-sin²a) *@cixm\B(  
,GnG1.u1  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] K?p[AS,C  
evYP=Cs>  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) EfJ,Xw+  
qTvmeJ) L  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ^704i  
/C6 O   
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] &st?c#E4mw  
Md\J{z$P  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) c 2BLz7j^  
pn2Y?r^vH  
　　cos3a=4cos³a-3cosa SN\'t  
*{Z-[jM.(S  
　　=4cosa(cos²a-3/4) #Af'mrr1D  
;\xXIB  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] B*xn&O F/  
t]+=Y@  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) sydbRsM"  
2~__C&o X!  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 1'9oj8]s!  
L`^IG:Lt.  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Y4ZXZ9[  
7'Qxe:H%  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Z:R@-$J  
TY*10 O6  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] I*%=E|>  
p)!GUqh`*j  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] vt!6TbT  
\d6{  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Zk{w]j9  
&?2L4'=qP4  
　　上述两式相比可得 OR  wBn  
7-? L:v  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) .jYikGO b  
FEDz5-rd<(  
半角公式  8+U_Ar  
B { E~DQBd  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); r^*o!u9  
}ZP~k+4/k  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. W_ INg8,  
cgn&a,   
和差化积 i~ C_K ab6  
,}BOYQNf  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] >U4P6 <t  
b\>NnLR  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] '$*j|Jvh1  
g$, DrDcw  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] BtTb=2H@  
Y ZHR+{-  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] X`cEeb  
JHs6 (  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) A["DmM-N  
5 q;;ke  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) (D'9F57#  
i it63E9p  
积化和差 k2Chc2|1  
#+Pmd|mJ6J  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Bh W -O?N:  
<X~hhd?  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 5-kQ<iQP=  
| Tr Y$sQ  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] * DV*o  
`z !Y1O  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ^Ar]n *q2  
I-"j*~!  
诱导公式 }p h21i  
rs R>]kD  
　　sin(-α) = -sinα r*W L2Jsj$  
37?mTIPh  
　　cos(-α) = cosα /<uawB9 l  
[YoWyOF e  
　　sin(π/2-α) = cosα ,YF9rQ"*  
R6h <A  
　　cos(π/2-α) = sinα g'#>g_^f  
(:b(w[  
　　sin(π/2+α) = cosα b@F2 M  
R_ p-pds  
　　cos(π/2+α) = -sinα w5rOkOB C  
u%VYsxbH  
　　sin(π-α) = sinα o Z;F  
W84GUszh  
　　cos(π-α) = -cosα Zhz-% v)  
Da-yo -O  
　　sin(π+α) = -sinα |4,F!&eV  
k -8jM%`  
　　cos(π+α) = -cosα *_4z*`-K  
n''kit<F  
　　tanA= sinA/cosA '<,B`;  
U}-2u  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα `Wo"CM:!j  
`` *W  
　　tan（π/2－α）＝cotα ./c(c#lO,  
sdncWgTxY  
　　tan（π－α）＝－tanα <s+M5.Lg  
j]3$%]M)~  
　　tan（π＋α）＝tanα ~g8*$K{^>~  
/8y(SH}i  
万能公式 = 6<NFZ  
1B;E4bGk  
　　 rm@U<k  
^T#L dR6  
其它公式 ]Og58Lz  
g%w:_jrf'3  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 lRH\D# {^  
M3h,)*Ic  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 bN7m11%z 2  
7 lRrMs:  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 fS 7QW<7  
^:e :88KB  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 rN`rLG  
t{%J7$IKB  
　　对于任意非直角三角形,总有 #,m<+  
h:F|``e'  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC >owAjjRG  
>K"Y'^Qr  
　　证: +HreOQ _  
86{'>W7  
　　A+B=π-C -_7 dsR^^  
x+q]@W  
　　tan(A+B)=tan(π-C) "077<Y=  
fiWBU[+by  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) =IuWc`|~  
(TI9h^H$[}  
　　整理可得 # f8,"RdY  
c1w 1KI>Ir  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC H9R1GcZ5.  
C`t[!usA  
　　得证 },W 5[^ED  
2}bxhaN  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 bT&pX>ud  
C*<VpDHHS  
其他非重点三角函数 ~YbU`^  
ZK?-{x@  
　　csc(a) = 1/sin(a) x`C\v)Ot  
 t8k0yJ3  
　　sec(a) = 1/cos(a) Ln7E:|Yyw  
X#[TvwBv7  
　　 Xwd Lp[;  
Pf4)5xCi  
双曲函数 a`JxP3  
X=8N~+2$  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 UZ^b%!+f  
98<ie  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 rTfT 2m~  
L6rnuPw]K  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) k3\G#a WJ  
TYM?Gd:J]  
　　公式一： L1@j#<1l  
m l!rN^,w  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： b[y hZ]-l  
\F3G h{  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ;\7xL^Y  
d_zF^n'>L  
　　cos（2kπ＋α）= cosα m,Jl#r_2*  
o{lG:  
　　tan（kπ＋α）= tanα b/e\{J,?v  
d#L"WLd?H  
　　cot（kπ＋α）= cotα P-)ve  
ala]`-IX  
　　公式二： 73R,)5  
TQ-)nNr  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 0lox]3<4  
L-'A&  
　　sin（π＋α）= -sinα p^Imy"HT  
hm~r;wU[  
　　cos（π＋α）= -cosα `l;wS0+  
v&#%N=HI  
　　tan（π＋α）= tanα 4{u/3i3]J  
.Ez c3  
　　cot（π＋α）= cotα a ^>kibw  
}h7+nN6  
　　公式三： WkS/][|4'  
lq >Tvr"  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： -CSt=a|kR^  
%7=I?K  
　　sin（-α）= -sinα sBqvm^{R  
flxE.lT   
　　cos（-α）= cosα Jfd0q6  
sMJ~&o# 6  
　　tan（-α）= -tanα CZDDxB fYI  
6(Faff  
　　cot（-α）= -cotα 0$>~? _;  
s(& ?gc  
　　公式四： 1&TM3 `b  
 WAE $}5X  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： m!wTQ5i%H-  
erMM K$b  
　　sin（π-α）= sinα aL4H<4E2  
j1h;R" `u  
　　cos（π-α）= -cosα W[i[QS  
} bdE #:  
　　tan（π-α）= -tanα 4g Q1^=6  
C;$r  
　　cot（π-α）= -cotα M:C9 )9_  
}47,h'`  
　　公式五： g`*az_$ V_  
w\0M]^5i  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： k4X \  ,  
8tM*]PH=;n  
　　sin（2π-α）= -sinα Q7ae?>."  
);~4@sPO  
　　cos（2π-α）= cosα 3:!g:Gt5_P  
P"GEbg5I  
　　tan（2π-α）= -tanα Z3Oh 9:  
 ;[bQ"dP  
　　cot（2π-α）= -cotα A,! jx-$<  
saI36D @'  
　　公式六： 5@8? Px.  
BKX#$ A\U  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： uY)cj&^G  
v<.d H&[  
　　sin（π/2+α）= cosα DO? #+PE   
Wk YX >z  
　　cos（π/2+α）= -sinα ;_}G"F)  
xD:Xp.zF  
　　tan（π/2+α）= -cotα vc*G&u)G3  
ZGt>X[w%  
　　cot（π/2+α）= -tanα T[lAjrTp  
pjG:F`ab/  
　　sin（π/2-α）= cosα C MzsG> *  
\hsta^6J  
　　cos（π/2-α）= sinα (z3{IM G  
Xkk N.8 (  
　　tan（π/2-α）= cotα 6B3+9d`6  
)!B  1a3  
　　cot（π/2-α）= tanα 2L-=LylMp  
y?{O]#xP  
　　sin（3π/2+α）= -cosα /\U~ Fs$1  
%W Z--t  
　　cos（3π/2+α）= sinα }AF^bGvo  
\G 2iJ+` +  
　　tan（3π/2+α）= -cotα P3Ch^@`(  
i`t+F2k{4  
　　cot（3π/2+α）= -tanα y@lZ%E1)N  
jt>WL iY  
　　sin（3π/2-α）= -cosα -~=::i,e  
}Z]JJ,  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ;"RDb$e  
$;cH#IoF  
　　tan（3π/2-α）= cotα n(`WHw  
=Unn# YM  
　　cot（3π/2-α）= tanα 2ik5g{  
Am\:smla\  
　　(以上k∈Z) Mgf*iA^#  
c)52 [f/  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 uVCr81 h  
n\{2b8O\ '  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 6;B_[M!#  
h?H[K k  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } X}. 5  
TX q;!k  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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