三角函数内容规律 *|
9?t,(l
FK{&1fBA
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. m7h0e8
<x &2%Uw
1、三角函数本质: ~F4s1.TM
&!64;24m|
三角函数的本质来源于定义 u<P"n&m
L.-MSd^4
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 z|N.P<lyb
h$(m Gt
U
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 qSQ1y(/Ks
D&R !sS U'
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: *l?[SLv2
o9!cow
推导:
[)"MuyR
U,d"b
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 \v8%MJ})!y
s9hep[*w
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) t/BRQp$Od
{S Q
Is
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) SPm?4n0
[U\axd
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ivXNEJ#Q
%d_&Hh-
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) BB$-x9`g
qYP+
W=S
[1] 5|#,@\-}HP
knzUee;]~
两角和公式 Hra^;hH Q
\U 3Y`}P
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB mxb)z`
7X1Z\OaB
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB B3DX89
$
%RfOPV7X0
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB k3rTZ#r
xbD|)Eve
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB JD
JSNV
ygr.=>|(
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) +W
|YS?n
B2b*5|ZTl
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) a`b
y(
(L;|Ob$
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) 80 x59C5
wu <+L
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ~(`s}
Ee8[3RtaIm
倍角公式 MUTM)=+`
[TjBzdC@
Sin2A=2SinA•CosA 53I 6mO
F"vsgFtc
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 QJ*
"R*{
VZB("V5@
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) &`UbD
N1ZRMA@V
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) Dd GRJzM
#H(Y
HT*
三倍角公式 Y?0l*
j7nq#$
c{@uF>Hh}w
|\S5W@H
C
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) #jr%EM4g
6k)j} g
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 6YAORHm
wT-;Yi
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) )\:B"O6$
6Nl+%t
三倍角公式推导 f@i2Ad
C!_G1#@j
sin3a Q;Eu+FH4
8}K"LIgSG
=sin(2a+a) CoD^4
b+.&>}u
=sin2acosa+cos2asina :%a@pfH"
=
-?.i`p
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina GFR9T<v
)=MdBl
=3sina-4sin³a d;&g!b [
DUjQ>;
%N
cos3a %5P_S
.M7d"Ur
=cos(2a+a) 1ow$>
z@+_AlE
=cos2acosa-sin2asina
7"vA{&@
@.%cWi
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa %fm}Q*}P
~~fV7~
=4cos³a-3cosa AZQ053?m
,)t)YjoY)
sin3a=3sina-4sin³a 4n "cV<
p:MN ;|K!
=4sina(3/4-sin²a) ISe5$C> @:
]k,drgU
=4sina[(√3/2)²-sin²a] y:: +Qt|
E!iJ`8+
=4sina(sin²60°-sin²a) Cd-e-
?!IHE]e;
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) .:j3{Us
[j1!dT
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] }j%ANW.&}
n!ylgp U
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) fk {Uq
3>Y;rt
cos3a=4cos³a-3cosa Uo`'+4]
]NMu^F3D
=4cosa(cos²a-3/4) ,Z,:(GNuB
_K+hj.u[
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] *'iZseHo^w
Wqn1n.I9T
=4cosa(cos²a-cos²30°) Y!cE6[U
G,Ysx^u
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) X6=skZ
K
~?11j
prW
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ~I35@AkNK
Gn`!b"
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) )}M]dTe
{('<,]5,Ug
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] n^ r].)
+
:3503&
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] P0Q]&Ip}
3z?[3
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) |hxZ3|R
7;9yk _r
上述两式相比可得 8"@
Q
B%[
@) Tt]4Z
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) qfn SK1
egg-D2S
半角公式 `4SQRb;+8x
-OiFT#])<g
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); uL+ X|C
Om-hq4%O
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. $o@(+c6&
-,
/
]xU/
和差化积 (X!%]uGp
Dmrx$1t0
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 'r~VcaV d
eolEA<P*V8
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 1,exPs] t
8[c
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] l
A<i
n+I
Tagx
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] $=m
{'Dn
93G vW!|S
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) pAm1?c$N
_&6m-nk;
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) (X+x)
ZMCc3r9gVA
积化和差 0_P\
^
8:U"62 Q
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] n0:GJL4>[
f7!ljEW
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] u@?Hh~=
82R=>[3 p[
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] !z8N\Qxkb
6%j6cb$H
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] |d}Y &N
u87EF
诱导公式 #WRE"+lj
k@3
A$
sin(-α) = -sinα M->yS9
uu>*d&m;?
cos(-α) = cosα ;{{`t) Z
)8woU\
sin(π/2-α) = cosα 6 l6*IR}n
K\`wbH
cos(π/2-α) = sinα *IU("-8
#Im/y5
sin(π/2+α) = cosα o{_ZG<
W;?
i|E
cos(π/2+α) = -sinα e'{eL.8?a
'\<)bKOq
sin(π-α) = sinα pK0XYWZ
XNyj7oS
cos(π-α) = -cosα 9KjD~
UrD
^V~c4
sin(π+α) = -sinα .H91[pU
G(t!QPu
cos(π+α) = -cosα 2mu9U
u
zYQ-{rRv
tanA= sinA/cosA 4jSY1T7,u
p/~
{d
tan(π/2+α)=-cotα WXN^;m
<j3q)Nn}
tan(π/2-α)=cotα mHN2a [
tU"@vW
tan(π-α)=-tanα &8II[KiU
\&>El+g~
tan(π+α)=tanα UAnJ6D
GQX}|fo>
万能公式 b|CAR16[;
tyoAT6eoZK
6RzV?dF
5 V(
e"
其它公式 'W*./2Y2<[
/7[l>TOS
(sinα)^2+(cosα)^2=1 [yX>tpX
+up95}`&}
1+(tanα)^2=(secα)^2 t`Ufhjyi-
z2T~%{
1+(cotα)^2=(cscα)^2 p=C*`(m
'VB.ejn/hd
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 u+
/dQJ#
-!L#z"
对于任意非直角三角形,总有 &Y]YV=z&=+
@=]V8]b
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC zzlU3/A
|:7nr4Bg
证: k"dijdUv
sfU!z#qWm
A+B=π-C ]`c{aM
XR)po`"L!
tan(A+B)=tan(π-C) z1ypYU\
R4biwR(
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) zd:x6FD;2
1N$V:,+
整理可得 `xTwD;K"\y
kidW2_F'
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC RjzZ|o?W
.fjvRAmn(
得证
f 6&I8
R3"# :d
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 M''\;P^"2
)/}sB.
其他非重点三角函数 p@o^ a&M
_{;xt.gAZ
csc(a) = 1/sin(a) Y 4aTF}n
R>,,o{O-4
sec(a) = 1/cos(a) @
DYH%U"p(
n2m:L
)3
[V/L
c
%ezJ@
双曲函数 yW9aAqRAX
\Fuj9m27H
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 VMA.p@:
=2Pk}&2}"S
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 .\HnXXb
vf^@%B
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Z]&2ITay
f?UyO
公式一: "e. 8
H mDm:(Rh
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: vR"2O"
&6[inv,E
sin(2kπ+α)= sinα 2>ER^1=
_;o~}!YlB
cos(2kπ+α)= cosα wyz2q!xqyi
]%WnRA<RI
tan(kπ+α)= tanα $O$D2
N[JjF;=.0
cot(kπ+α)= cotα \E\| N
'#
53k4T^"E
公式二: _7xz5iZ
]qU`}gp5
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: w`T?3j?
?7`@HW_
sin(π+α)= -sinα ;<KbxIA
iI&zShQ22
cos(π+α)= -cosα 9Wj(oe&
yjQ7U{fy
tan(π+α)= tanα X-g eR8<
6~``<<@
cot(π+α)= cotα ,L1@E6zj_
BCQUBZ[b
公式三: w
y):eM
bL;L3?J2
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: h@_Q1=
+eFix
|q.1
sin(-α)= -sinα c9N8E[&
bz/aNQt!`
cos(-α)= cosα :?V^3R%
oA)a"+v$K
tan(-α)= -tanα q v2O9$s
@vg#)>CG
cot(-α)= -cotα @Nybrw&,
&&$% v'
公式四: {j\Kc%?"S
tsK_TE`.>
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: 8r-U)e
K/7Kz"
sin(π-α)= sinα `djY$C~
??5^D\Qqi
cos(π-α)= -cosα 4lC8w
x#
)c}KGYQ#
tan(π-α)= -tanα rlm4oV.1
37)MH *CAo
cot(π-α)= -cotα +eg
T+HVt<'\NQ
公式五: kZ?K4
Up>
qUb4yjc&z
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: po
6W|@C
-\8cau=+
sin(2π-α)= -sinα 9O\#^j\Qz
ErNwd+|
cos(2π-α)= cosα lDH(5{8
t@%~: 0J(9
tan(2π-α)= -tanα
ck(
'nTK |8,
cot(2π-α)= -cotα z}Bn=4P
A`O_{w{U&
公式六:
>8u2#\ix
N@E24[
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: ~NhnlY>
[:,iqcln?|
sin(π/2+α)= cosα c}#hsf
x0
]
cos(π/2+α)= -sinα 7.v<?WX
ioF(C 1
tan(π/2+α)= -cotα xlKB'2@
t]>K:)1
cot(π/2+α)= -tanα A>>meV1}Tw
VY<U9F?P
sin(π/2-α)= cosα i?f4c4C
;ySj84g
cos(π/2-α)= sinα
rxZXlf
42:g
tan(π/2-α)= cotα F5
NX
{H
#9?Y@@
@T
cot(π/2-α)= tanα )(Vi00
AL?wN%\]
sin(3π/2+α)= -cosα ]H>C'?yC
]t0mMA|
cos(3π/2+α)= sinα J7(.HJDe
8P=\4%?L
tan(3π/2+α)= -cotα }j<J;=
1OE2#D
cot(3π/2+α)= -tanα |-eL i
poGV49LB
sin(3π/2-α)= -cosα V.'0Npq~?
U{"Hw1
cos(3π/2-α)= -sinα bI
^>V
*K\T6i]c!
tan(3π/2-α)= cotα }8<5 M7_A
. k1E,
cot(3π/2-α)= tanα &>^"aN'$
ey"*qOap&
(以上k∈Z) \SalB}X
=
*wZi!_PQQ
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 v^]d
O4
mW*r[ %
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = OdLGn&|?c
ANfIu5=a
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Jg 1JkLX
K;LvKxFp
√表示根号,包括{……}中的内容
迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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