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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 *| 9?t,(l  
FK{&1fBA  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. m7h0e8  
<x&2%Uw  
  1、三角函数本质: ~F4s1.TM  
&!64;24m|  
  三角函数的本质来源于定义 u<P"n&m  
L.-MSd^4  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 z|N.P<lyb  
h$(mG t U  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 qSQ1y(/Ks  
D&R !sS U'  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: *l?[SLv2  
o9!cow  
  推导: [)"MuyR  
U,d"b  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 \v8%MJ})!y  
s9hep[*w  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) t/BRQp$Od  
{SQ Is  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) SPm?4n0  
[U\axd  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ivXNEJ#Q  
%d_&Hh-  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) BB$-x9`g  
qYP+ W=S  
  [1] 5|#,@\-}HP  
knzUee;]~  
  两角和公式 Hra^;hH Q  
\U3Y`}P  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB mxb)z`  
7X1Z\OaB   
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  B3DX89 $  
%RfOPV7X0  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB k3rTZ#r  
xbD|)Eve  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB JD JSNV  
ygr.=>|(  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) +W |YS? n  
B2b*5|ZTl  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) a`b y(  
(L;|Ob$  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  80 x59C5  
wu <+L  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ~(`s}  
Ee8[3RtaIm  
倍角公式 MUT M)=+`  
[ TjBzdC@  
  Sin2A=2SinA•CosA 53I 6mO  
F"vsgFtc  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 QJ* "R*{  
VZB("V5@  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) &`UbD  
N1ZRMA@V  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) DdGR JzM  
#H(Y HT*  
三倍角公式 Y?0l*  
 j7nq#$  
   c{@uF>Hh}w  
|\S5W@H C  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) #jr%EM4g  
6k)j}g  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 6YAORHm  
wT-;Yi  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) )\:B"O6$  
6Nl+%t  
三倍角公式推导 f@i2Ad  
C!_G1#@j  
  sin3a Q;Eu+FH4  
8}K"LIgSG  
  =sin(2a+a) CoD^4  
b+.&>}u  
  =sin2acosa+cos2asina :%a@pfH"  
= -?.i`p  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina GFR9T<v  
)=MdBl  
  =3sina-4sin³a d;&g!b [  
DUjQ>; %N  
  cos3a %5P_S  
.M7d"Ur  
  =cos(2a+a) 1ow$>  
z@+_AlE  
  =cos2acosa-sin2asina 7"vA{&@  
@.%cWi  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa %fm}Q*}P  
~~fV7~  
  =4cos³a-3cosa AZQ053?m  
,)t)YjoY)  
  sin3a=3sina-4sin³a 4n "cV<  
p:MN ;|K!  
  =4sina(3/4-sin²a) ISe5$C> @:  
]k,drgU  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] y::+Qt|  
E!iJ`8+  
  =4sina(sin²60°-sin²a) Cd-e-  
?!IHE]e;  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) .:j3{Us  
[j1!dT  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] }j%ANW.&}  
n!ylgp U  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) fk{Uq   
3>Y;rt  
  cos3a=4cos³a-3cosa Uo `'+4]  
]NMu^F3D  
  =4cosa(cos²a-3/4) ,Z,:(GNuB  
_K+hj.u[  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] *'iZseHo^w  
Wqn1n.I9T  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) Y!cE6[U  
G, Ysx^u  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) X6=skZ K  
~?11j prW  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ~I35@AkNK  
Gn`!b"  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) )}M]dTe  
{('<,]5,Ug  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] n^r].)  
+ :3503&  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] P0Q]&Ip}  
3z?[3  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) |hx Z3|R  
7;9yk _r  
  上述两式相比可得 8"@ Q B%[  
@)Tt]4Z  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) qf n SK1  
egg -D2S  
半角公式 `4SQRb;+8x  
-OiFT#])<g  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); uL+ X|C  
Om-hq4%O  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. $o @(+c6&  
-, / ]xU/  
和差化积 (X!%]uGp  
Dmrx$1t0  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 'r~VcaVd  
eolEA<P*V8  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 1,exPs]t  
8[c  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] l A<i   
n+I Ta gx  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] $=m {'Dn  
93G vW!|S  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) pAm1?c$N  
_&6m-nk;  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) (X+x)  
ZMCc3r9gVA  
积化和差 0_P\ ^  
8:U"62 Q  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] n0:GJL4>[  
f7!ljEW  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] u@?Hh~=  
82R=>[3p[  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] !z8N\Qxkb  
6%j6cb $H  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] |d}Y & N  
u87 EF  
诱导公式 #WRE"+lj  
k@3 A$  
  sin(-α) = -sinα M->yS9  
uu>*d&m;?  
  cos(-α) = cosα ;{{` t) Z  
)8woU\  
  sin(π/2-α) = cosα 6l6*IR}n  
K\`w bH  
  cos(π/2-α) = sinα *IU("-8  
#Im/y5  
  sin(π/2+α) = cosα o {_ZG<  
W;? i|E  
  cos(π/2+α) = -sinα e'{eL.8?a  
'\<)bKOq  
  sin(π-α) = sinα pK0XYWZ  
XNyj7oS  
  cos(π-α) = -cosα 9KjD~  
UrD ^V~c4  
  sin(π+α) = -sinα .H91[pU  
G(t!QPu  
  cos(π+α) = -cosα 2mu9U u  
zYQ-{rRv  
  tanA= sinA/cosA 4jSY1T7,u  
p/~ {d  
  tan(π/2+α)=-cotα WXN^;m  
<j3q)Nn}  
  tan(π/2-α)=cotα mHN2 a [  
 tU"@vW  
  tan(π-α)=-tanα &8II[KiU  
\&>El+g~  
  tan(π+α)=tanα  UAnJ6D  
G QX}|fo>  
万能公式 b|CAR16[;  
tyoAT6eoZK  
   6RzV?dF  
5V( e"  
其它公式 'W*./2Y2<[  
/7[l>TOS  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 [yX>tpX  
+up95}`&}  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 t`Ufhjyi-  
z2T~%{  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 p=C*`(m  
'VB.ejn/hd  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 u+ /dQJ#  
-!L#z"  
  对于任意非直角三角形,总有 &Y]YV=z&=+  
@=]V8]b  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC zzlU3/A  
|:7nr4Bg  
  证: k"dijdUv  
sfU!z#qWm  
  A+B=π-C ]`c{aM  
XR)po`"L!  
  tan(A+B)=tan(π-C) z1ypYU\  
R4biwR(  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) zd:x6F D;2  
1N$V:,+  
  整理可得 `xTwD;K"\y  
kidW2_ F'  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC RjzZ|o?W  
.fjvRAmn(  
  得证 f 6&I8  
R3"#:d  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 M''\;P^"2  
)/}sB.  
其他非重点三角函数 p@o^ a&M  
_{;xt.gAZ  
  csc(a) = 1/sin(a) Y 4aTF}n  
R>,,o{O-4  
  sec(a) = 1/cos(a) @ DYH%U"p(  
 n2m:L  
   )3 [V/L c  
%ezJ@   
双曲函数 yW9aAqRAX  
\Fuj9m27H  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 VMA.p@:  
=2Pk}&2}"S  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 .\HnXXb  
vf^@%B  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Z]&2ITay  
f?UyO  
  公式一: " e. 8  
H mDm:(Rh  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: vR "2O"  
&6[inv,E  
  sin(2kπ+α)= sinα 2>ER^1=  
_;o~}!YlB  
  cos(2kπ+α)= cosα wyz2q!xqyi  
]%WnRA<RI  
  tan(kπ+α)= tanα $O$D2  
N[JjF;=.0  
  cot(kπ+α)= cotα \E\| N '#  
53k4T^"E  
  公式二: _7xz5iZ  
]qU`}gp5  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: w`T?3j ?  
?7`@HW_  
  sin(π+α)= -sinα ;<KbxIA  
iI&zShQ22  
  cos(π+α)= -cosα 9Wj(oe&  
yjQ7U{fy  
  tan(π+α)= tanα X-geR8<  
6~``<<@  
  cot(π+α)= cotα ,L1@E6zj_  
BCQUBZ[ b  
  公式三: w y):eM  
bL;L3?J2  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: h@_Q1=   
+eFix |q.1  
  sin(-α)= -sinα c9 N8E[&  
bz/aNQt!`  
  cos(-α)= cosα :?V^3R%  
oA)a"+v$K  
  tan(-α)= -tanα qv2O9$s  
@vg#)>CG  
  cot(-α)= -cotα @Nybrw&,  
 &&$% v'  
  公式四: {j\Kc%?"S  
tsK_TE`.>  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: 8r-U)e  
K/7Kz"  
  sin(π-α)= sinα `djY$C~  
??5^D\Qqi  
  cos(π-α)= -cosα 4lC8w x#  
)c}KGYQ#  
  tan(π-α)= -tanα rlm4oV.1  
37)MH *CAo  
  cot(π-α)= -cotα +eg  
T+HVt<'\NQ  
  公式五: kZ?K4 Up>  
qUb4yjc&z  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: po 6W|@C  
-\8cau=+  
  sin(2π-α)= -sinα 9O\#^j\Qz  
ErNwd+|  
  cos(2π-α)= cosα lDH(5{8  
t@%~: 0J(9  
  tan(2π-α)= -tanα ck(   
'nTK |8,  
  cot(2π-α)= -cotα z}Bn=4P  
A`O_{w{U&  
  公式六: >8u2#\ix  
N@E24[  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: ~NhnlY>  
[:,iqcln?|  
  sin(π/2+α)= cosα c}#hsf  
x0 ]  
  cos(π/2+α)= -sinα 7.v<?WX  
io F(C1  
  tan(π/2+α)= -cotα xlKB'2@  
t]>K:)1  
  cot(π/2+α)= -tanα A>>meV1}Tw  
 VY<U9F?P  
  sin(π/2-α)= cosα i?f4c4C  
;ySj84g  
  cos(π/2-α)= sinα  rxZXlf  
42 :g  
  tan(π/2-α)= cotα F5 N X { H  
#9?Y@@ @T  
  cot(π/2-α)= tanα )(Vi00  
AL?wN%\]  
  sin(3π/2+α)= -cosα ]H>C'?yC  
]t0mMA|  
  cos(3π/2+α)= sinα J7(.HJDe  
8P=\4%?L  
  tan(3π/2+α)= -cotα }j<J;=  
1OE2# D  
  cot(3π/2+α)= -tanα |-eL i  
poGV49LB  
  sin(3π/2-α)= -cosα V.'0Npq~?  
U{"Hw1  
  cos(3π/2-α)= -sinα bI ^>V  
*K\T6i]c!  
  tan(3π/2-α)= cotα }8<5M7_A  
. k1E,  
  cot(3π/2-α)= tanα &>^"aN'$  
ey"*qOap&  
  (以上k∈Z) \SalB}X =  
*wZi!_PQQ  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 v^]d O4  
mW*r[%  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = OdLGn&|?c  
ANfIu5=a  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Jg 1JkLX  
K;LvKxFp  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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